Biraz trigonometrik formül çalışalım . Lise de iken sinir olurdum . Alışınca yapmak kolay ama bu alışma sürecini öğrenmeye kendi başınıza çıktınız mı süreç uzaya biliyor .

Neyse : Başlayalım öncelikle toplam ,fark ve yarım açı formüllerini sonra sırası ile lazım olacak ne var ise vereceğim. 

sin(x+/-y)=Sinx.Cosy+/-Cosx.Siny--->> Dikkat edilir ise parentez içersinde işlem özelliği  eşitliğin diğer tarafında da aynı ve açılar sırası ile yer değiştrimiş.

Cos(x+/-y)= Cosx.Cosy-/+ Sinx.Siny --->>Dikkat edilir ise parentez içersinde işlem özelliği  eşitliğin diğer tarafında tersini almış açılar sıra ile yerini almış.

tan (x+y)= Sin(x+y)/Cos(x+y)= Sinx.Cosy+Cosx.Siny /Cosx.Cosy-Sinx.Siny  Şeklinde ifade edebiliriz.

=[Sinx.Cosy/Cosx.Cosy-Sinx.Siny] +[Cosx.Siny/Cosx.Cosy-Sinx.Siny]   Rasyonel toplamı parçalayabiliriz.

=[Sinx.Cosy/[Sinx.Cosy(Cosx/Sinx)-(Siny/Cosy)]] +[Cosx.Siny /[Cosx.Siny (Cosy/Siny)- (Sinx/Cosx)]]  ortak çarpan parentezine alıp benzer ifadeleri sadeleştirebiliriz.

=[1/Cotx-Tany] +[1/Coty-Tanx] =[1/1:tanx-tany]+[1/1:tany-tanx]= tanx +tany / 1-tanx.tany

Cot(x+y)=1/Tan(x+y)

Yarım açı : 

Sin(x+x)=Sin2x= Sinx.Cosx+Cosx.Sinx =2Sinx.Cosy

Cos(x+x)=Cos2x=Cosx.Cosx -Sinx.Sinx = cos²x- Sin²x-->cos²x+Sin²x=1old. -->

                                                               = 2cos²x-1

                                                               = 1-2Sin²x

tan(x+x)=tan2x= tanx+tanx/(1-tanx.tanx)= 2tanx/1- tan²x   

Burda unutulmaması gereken Sin ve Cos  kordinat eksenin de sırası ile dikey ve yatay sütunda yer aldığında Sin açı değeri arttıkça artar Cos açı değeri azaldıkça artar. (-1<sinx<1, -1<cosx<1)

Sin70+Sin10 =? tipindeki sorularda 

Şöyle bir metot düşünülür  2 öğle açı varki toplamlarının  70 ve farklarıı 10 ediyor. Denelim 

70 =a+c ise a=40 c=30 

10=a-c ise 

Sin(a+c) =Sina.Cosc +Cosa.Sinc

Sin(a-c) = Sina.Cosc- Cosa.Sinc     yani Sin(a+c) +Sin(a-c) =2Sina.Cosc =2Sin40.Cos30=3^1:2 .Cos40

Aynı sorunun çıkartmasını yaparsak yani Sin70 -Sin10 = 2Cos40.Sin30=Cos40

Dikkat edilirse toplamda farkı alınacak 2 açı  cos a toplamı sine yazılıyor sonuç + yönde farkın da tersi  durum*

Cos30- Cos20 =?

b+d =30     ise b=20 d=10 

b-d=10 

Cos(b+d) =Cosb.Cosd-Sinb.Sind 

Cos(b-d)=Cosb.Cosd +Sinb.Sind

farkını alırsak Cos(b+d)-Cos(b-d) = -.2Sinb.Sind= -2Sin20.Si10

dikkat edilirse fark alırken negatif bir değer ve Sin cos ayrımı yok 

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Sin35.Cos20 = ?

Eğer soruda 2.Sin35.Cos20  gibi bir şey olsa idi.Bir şeyler yapabilirdik o zaman benzetme yapalım .Dikkat edilirse sin ve cos çarpılmış öyle ise 2 Sin açısı toplanmış veya çıkarılmış olarak düşünebiliriz

Sin35.Cos20 = (Sinm+Sink):2  olsun

2Sin35.Cos20 =(Sinm+Sink )------>>Dikkat edilirse bir önce ki soruda m=b+d n= b-d denirse b=(m+n):2**

m+k=70 , m-k=40 ise m=55 ve n=15 bulunur. Buradan da ¹

Sin35.cos20 =(Sin55+Sin15 ):2 olur. 

** Burda * işareti konan yere Dikkat ediniz açı **35>20 olduğundan ve sin'e yazıldığından 2 tane sin toplanmış diyebiliyoruz. 

1:

Sin(35+20) =Sin35.Cos20+Cos35.Sin20

Sin(35-15) =Sin35.Cos20-Cos35.Sin20 

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

sin65.sin32 =?

Düşünelim sin .sin çarpımı veren formül cos toplam/farkında var . İşe yarar halde 2 cos toplam /farkı lazım 

Cos(65+32)=Cos65.Cos32 - sin65.Sin32

Cos(65-32)=Cos65.Cos32 +Sin65.Sin32

farkını alalım 

Cos(65+32)-Cos(65-32) = -2.Sin65.Sin32 

Cos97-cos33 =-2.Sin65.Sin32 ise 

Her 2  tarafı -1 ile çarpıp 2 ile bölersek sorulan ifadenin değeri çıkar 

(Cos32-Cos97 ):2 =Sin65.Sin32 

İstersek kolaylık olsun diye cos toplam ve farkının yazdığı yerde en kısa işlemle Cos32 -Cos97 alıp 2 ye bölebiirdik. 

Güzel bir trigonometri sorusu :

 Cos72^○  =?

 Cos72^○ = t diyelim.

 Cos72^○x2Sin72^○ =  t x 2Sin72^○

 ise Sin144^○  = t x 2Sin72^○

  ise Sin(180 -144) ^○ = t x 2Sin72^○

   ise Sin36^○ = t x 2( 2x Sin36^○ x Cos36^○)

ise 1 = 2 x 2 x Cos36^○ x t   ----------->>>> t = Cos72^○  ( Sadeleştirme yapalım )

 1÷2 =  ( 4 x Cos72^○x Cos36^○) ÷2

      ise0.5  =  2 x Cos72^○ x Cos36^○ -------     Cos(72 +36) = Cos72^○x Cos36^○–Sin72^○xSin36^○

                                             Cos(72 – 36) =Cos72^○xCos36^○+Sin72^○ xSin36^○

      Toplam=Cos108^○+Cos36^○ =2xCos72^○xcos36^○

0.5 = Cos108^○ + Cos36^○

ise   0.5 = Cos(90+18 ) ^○ +(1 – 2Sin²18^○)

0.5= -Sin18^○ + 1 – 2Sin²18^○  -- Tüm Elemanları Eşitliğin Sol Tarafında Toplayalım

2Sin²18^○+ Sin18^○ – 0.5 =0  --   Denkleminin Köklerini Diskriminant ile Çözebilriz.

Sin18^○ = a olsun  öyle ise ;

 2a² + a – 0.5 = 0

    ∆ = 1² – 4x[2 x(-0.5)]

    ∆ = 5

    a_{1 =} [ -1+ √∆ ] ÷(2x2) a_{2 =} [ -1- √∆ ]÷(2x2)

    a_{1 =}  ( -1 + √5 ) /(2x2)      a_{2=   =}  ( -1 - √5 ) /(2x2)

Gelelim son kısma a = Sin18^○ için bulunan köklerimiz a₁ ve a₂  oysa biz biliyoruz ki Sin18^○bir dar açıdır. Ve kordinat düzleminde 1. bölgeye düşer ve pozitiftir.

Öyle ise doğru çözümü sağlayan kök a₁ dir.

Şimdi gelelim soruda esas bulunması gereken kısma. Soru Cos72^○ nin değerini istiyor.

Biz biliyoruz ki bu dar açıyı Cos72^○ = Cos(90-18 )^○ şeklinde de ifade edebilriz.*

Cos72^○ =Sin18^○ = ( -1 + √5 ) /4

* Birbirini 90^○ dereceye tamamlayan açılarda birinin Sinüsü diğer açının Kosinüsüne eşittir.

Not: